在三棱錐A-BCD中，底面BCD為邊長(zhǎng)為2的正三角形，頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影為△BCD的中心，若E為BC的中點(diǎn)，且直線AE與底面BCD所成角的正切值為2
2
，則三棱錐A-BCD外接球的表面積為
 
．
考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積
專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離
分析：先判斷三棱錐為正四面體，構(gòu)造正方體，由面上的對(duì)角線構(gòu)成正四面體，故可得正方體的棱長(zhǎng)，即可求出外接球的半徑，從而可得三棱錐A-BCD外接球的表面積．
解答： 解：∵定點(diǎn)A在底面BCD上的射影為三角形BCD的中心，而且底面BCD是正三角形，
∴三棱錐A-BCD是正三棱錐，∴AB=AC=AD，
令底面三角形BCD的重心（即中心）為P，
∵底面BCD為邊長(zhǎng)為2的正三角形，DE是BC邊上的高，
∴DE=
3
，∴PE=
3
3
，DP=
2
3
3

∵直線AE與底面BCD所成角的正切值為2
2
，
∴AP=
2
6
3
，
∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，
∴三棱錐為正四面體，
構(gòu)造正方體，由面上的對(duì)角線構(gòu)成正四面體，故正方體的棱長(zhǎng)為
2
，
∴正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為
6
，
∴外接球的半徑為
6
2

∴外接球的表面積=4πr2=6π
故答案為：6π．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線AE與底面BCD所成角，考查三棱錐A-BCD外接球的表面積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知關(guān)于x，y的二元一次方程組為
a2
2-1
x
y
=
e
f
﹒
（Ⅰ）若該方程組有唯一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=2，且該方程組存在非零解
x
y
滿足
e
f
=λ
x
y
，求λ的值﹒

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

袋中裝有5只紅球和4只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得3分，取到1只黑球得1分，設(shè)得分為隨機(jī)變量ξ，則ξ≥8的概率P（ξ≥8）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)P（x，y）是橢圓
x2
16
+
y2
12
=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別表示該橢圓的左右焦點(diǎn)，則P點(diǎn)到F1F2兩點(diǎn)距離之積取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn=n2+n+1，則an=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

直角梯形ABCD中，AB=AD，∠A=90°，∠C=45°，沿BD將△ABD折起，使平面ABD⊥底面BCD，構(gòu)成三棱錐A-BCD，則三棱錐的四個(gè)表面中互相垂直的平面共
 
組．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若a=
6
-
2
，b=
3
-1，則a，b的大小關(guān)系為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在二項(xiàng)式定理C
 
0
n
+C
 
1
n
x+C
 
2
n
x2+…+C
 
n
n
xn=（1+x）n（n∈N*）的兩邊求導(dǎo)后，再取x=1得到一個(gè)恒等式，這個(gè)恒等式是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，一個(gè)四棱錐的主視圖和側(cè)視圖均為直角三角形，俯視圖為矩形，則該四棱錐的四個(gè)側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)是（　　）
A、1B、2C、3D、4

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