Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，直線l：y=kx-1．
（1）當(dāng)圓C被直線l平分，求k值
（2）在圓C上是否存在A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx-1對稱，且OA⊥OB，若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說明理由？

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由題意可知，y=kx-1過圓心C，即可求k值；
（2）求出圓的圓心坐標(biāo)，代入直線方程求出直線的斜率，推出AB的斜率，設(shè)出AB的方程，聯(lián)立AB與圓的方程，利用x₁x₂+y₁y₂=0，求出b的值，即可求出AB的方程．

解答： 解：（1）圓C：x²+y²-2x+4y-4=0可化為圓C：（x-1）²+（y+2）²=9，
由題意可知，y=kx-1過圓心C，所以k=-1，
（2）直線AB的斜率為1，設(shè)直線AB的方程為x-y+b=0；對稱軸方程為：x+y+1=0，
直線AB與圓C：x²+y²-2x+4y-4=0可得2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0，
x₁x₂=

b2+4b-4

2

，x₁+x₂=-b-1．
因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)．
所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以2×

b2+4b-4

2

+b²+b（-b-1）+b²=0，解得b=1或b=-4
所以所求直線AB的方程為x-y+1=0或x-y-4=0．

點(diǎn)評：本題考查圓的方程的綜合應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．