Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，且，交于點，是上任意一點．

（1）求證：；

（2）若為的中點，且二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）先求證AC⊥平面PBD，再證AC⊥DE.(2)先證明 EO⊥平面ABCD，分別以O(shè)A，OB，OE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求出EC與平面PAB所成角的正弦值.

（1）因為DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，

因為四邊形ABCD為菱形，所以BD⊥AC，

又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，

因為DE平面PBD，∴AC⊥DE．

（2）連接OE，在△PBD中，EO∥PD，

所以EO⊥平面ABCD，分別以O(shè)A，OB，OE所在直線為x軸，y軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)PD=t，則A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0），

E（0，0，），P（0，﹣，t）．

設(shè)平面PAB的一個法向量為（x，y，z），

則 ，令，得，

平面PBD的法向量（1，0，0），

因為二面角A﹣PB﹣D的余弦值為，

所以 ，

所以或（舍），

則

∴，

∴EC與平面PAB所成角的正弦值為．