Question

【題目】如圖，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是直角梯形，其中AB⊥AD，AB=2AD=2AA1=4，CD=1．
（Ⅰ）證明：BD1⊥平面A1C1D；
（Ⅱ）求BD1與平面A1BC1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：連接AD1 ， B1D1 ， 則AB是平面AD1的垂線，BD1是平面AD1的斜線，AD1是BD1在平面AD1內的射影，∴A1D⊥BD1 ， ∵Rt△C1D1A1∽Rt△B1A1D1 ， ∴∠D1A1C1+∠A1D1B1=∠D1A1C1+∠D1C1A1=90°，∴A1C1⊥B1D1 ， ∴A1C1⊥BD1 ，
∵A1D∩A1C1=A1 ，
∴BD1⊥平面A1C1D；
（Ⅱ）解：建立如圖所示的坐標系，則A1（0，0，0），B（2，4，0），C1（0，1，2），D1（0，0，2），
=（2，4，0）， =（0，1，2）， =（﹣2，﹣4，2），
設BD1與平面A1BC1所成角為θ，平面A1BC1的一個法向量為 =（x，y，z），則 ，取 =（4，﹣2，1），
則sinθ=| = ．

【解析】（Ⅰ）連接AD1 ， B1D1 ， 證明A1D⊥BD1 ， A1C1⊥BD1 ， 即可證明：BD1⊥平面A1C1D；（Ⅱ）建立坐標系，求出平面的法向量，即可求BD1與平面A1BC1所成角的正弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．