Question

已知拋物線D的頂點是橢圓C：

x2

16

+

y2

15

=1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合．
（1）求拋物線D的方程；
（2）過橢圓C右頂點A的直線l交拋物線D于M、N兩點．
①若直線l的斜率為1，求MN的長；
②是否存在垂直于x軸的直線m被以MA為直徑的圓E所截得的弦長為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意，可設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0）．由橢圓C：

x2

16

+

y2

15

=1可得右焦點（1，0），即可得出p；
（2）①把直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式即可得出；
②設(shè)存在直線m：x=a滿足題意，則圓心E(

x1+4

2

，

y1

2

)，過E作直線x=a的垂線，垂足為F，設(shè)直線m與圓E的一個交點為G．可得：|FG|²=|EG|²-|FE|²=(a-3)x1+4a-a2，當(dāng)a=3時，|FG|²=3，此時直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值．

解答： 解：（1）由題意，可設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0）．
由a²-b²=4-3=1，得c=1．
∴拋物線的焦點為（1，0），
∴P=2．
∴拋物線D的方程為y²=4x．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
①直線l的方程為：y=x-4，聯(lián)立

y=x-4 y2=4x

，整理得：x²-12x+16=0，
x₁+x₂=12，x₁x₂=16．
∴|MN|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2×(122-4×16)

=4

10

．
②設(shè)存在直線m：x=a滿足題意，則圓心E(

x1+4

2

，

y1

2

)，
過E作直線x=a的垂線，垂足為F，
設(shè)直線m與圓E的一個交點為G．可得：|FG|²=|EG|²-|FE|²，
即|FG|²=|EA|²-|FE|²=

(x1-4)2+y12

4

-(

x1+4

2

-a)2
=

1

4

y12+

(x1-4)2-(x1+4)2

4

+a(x1+4)-a2
=x1-4x1+a(x1+4)-a2=(a-3)x1+4a-a2，
當(dāng)a=3時，|FG|²=3，此時直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值2

3

．
因此存在直線m：x=3滿足題意．

點評：本題主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何基本思想方法和綜合解題能力，屬于難題．