Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中的一個(gè)橢圓C₁，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-

3

，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），
（1）求該橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)P是橢圓C₁上的任意一點(diǎn)過P作x軸的垂線，垂足為E，求PE中點(diǎn)G的軌跡方程C₂；
（3）設(shè)點(diǎn)A（1，

1

4

），過原點(diǎn)O的直線交C₂于點(diǎn)B，C，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由于左焦點(diǎn)為F(-

3

，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），可得c=

3

，a=2，b²=a²-c²，即可得出．
（2）設(shè)G（x，y），則E（x，0），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得P（x，2y），代入橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出．
（3）①當(dāng)直線BC的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx，與橢圓方程聯(lián)立可得x=±

2

1+16k2

．利用弦長(zhǎng)公式可得|BC|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：點(diǎn)A到直線BC的距離d．S_△ABC=

1

2

d|BC|，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
②當(dāng)直線BC的斜率不存在時(shí)，|BC|=1，點(diǎn)A（1，

1

4

）到直線BC的距離d=1，直接得出．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵左焦點(diǎn)為F(-

3

，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），∴c=

3

，a=2，b²=a²-c²=1．
∴橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)G（x，y），則E（x，0），∴P（x，2y），
代入橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+4y2=1．
即為PE中點(diǎn)G的軌跡方程C₂．
（3）①當(dāng)直線BC的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx，
聯(lián)立

y=kx x2 4 +4y2=1

，化為x²=

4

1+16k2

，解得x=±

2

1+16k2

．
∴|BC|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[0+ 8 1+16k2 ]

=2

2+2k2 1+16k2

．
點(diǎn)A到直線BC的距離d=

|k- 1 4 |

1+k2

．
∴S_△ABC=

1

2

d|BC|=

2

4

16k2-8k+1 16k2+1

=

2

4

1- 8k 16k2+1

=

2

4

•

1+ 8 16(-k)+ 1 -k

≤

2

4

1+1

=

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)k=-

1

4

時(shí)取等號(hào)．
②當(dāng)直線BC的斜率不存在時(shí)，|BC|=2，
點(diǎn)A（1，

1

4

）到直線BC的距離d=1，
∴S_△ABC=

1

2

d|BC|=1．
∴△ABC面積的最大值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力，屬于難題．