Question

已知動圓∴a²+c²-b²=

2

3

ac，b=2過定點M（0，2），且在x軸上截得弦長為4．設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線C
（1）求曲線C方程；
（2）點A為直線l：x-y-2=0上任意一點，過A作曲線C的切線，切點分別為P、Q，△APQ面積的最小值及此時點A的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)動圓圓心坐標(biāo)為C（x，y），根據(jù)題意得

x2+(y-2)2

=

y2+4

，化簡即可得出；
（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，與拋物線方程聯(lián)立可得x²-4kx-4b=0．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得根與系數(shù)的關(guān)系，△=16k²+16b＞0，
以點P為切點的切線的斜率為y′=

1

2

x1，其切線方程為：y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，即y=

1

2

x1x-

1

4

x

2 1

，同理過點Q的切線的方程為y=

1

2

x2x-

1

4

x

2 2

．
設(shè)兩條切線的交點為A（x₀，y₀）在直線x-y-2=0上，聯(lián)立切線方程可得A（2k，-b）．可得b=2-2k，代入△＞0恒成立，利用弦長公式|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，
點到直線的距離公式可得：點A到直線PQ的距離d，再利用三角形面積計算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)動圓圓心坐標(biāo)為C（x，y），根據(jù)題意得

x2+(y-2)2

=

y2+4

，
化簡得x²=4y．
（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，
由

x2=4y y=kx+b

消去y得x²-4kx-4b=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，且△=16k²+16b＞0，
以點P為切點的切線的斜率為y′=

1

2

x1，其切線方程為：y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，
化為y=

1

2

x1x-

1

4

x

2 1

，
同理過點Q的切線的方程為y=

1

2

x2x-

1

4

x

2 2

．
設(shè)兩條切線的交點為A（x₀，y₀）在直線x-y-2=0上，
聯(lián)立

y= 1 2 x1x- 1 4 x 2 1 y= 1 2 x2x- 1 4 x 2 2

，解得

x0= x1+x2 2 =2k y0= x1x2 4 =-b

，即A（2k，-b）．
∴2k+b-2=0，即b=2-2k，
代入△＞0，可得16（k-1）²+16＞0．
∴|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=4

1+k2

k2+b

．
點A到直線PQ的距離d=

|2k2+2b|

1+k2

，
∴S_△APQ=

1

2

|PQ|•d=4|k2+b|•

k2+b

=4(k2+b)

3

2

=4[(k-1)2+1]

3

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)k=1時，S_△APQ取得最小值，其最小值為4，此時點A的坐標(biāo)為（2，0）．

點評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力，屬于難題．