Question

已知|

OA

|=1，|

OB

|=

3

，且

AO

⊥

OB

，設(shè)

OC

=m

OA

+n

OB

（1）若C點(diǎn)滿(mǎn)足

AC

=t

CB

，求m+n的值；
（2）若C滿(mǎn)足∠AOC=30°，求

m

n

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可求出m+n的值；
（2）當(dāng)∠AOC=30°時(shí)，畫(huà)出圖形，利用平面向量的平行四邊形合成法則，求出

m

n

的值．

解答： 解：（1）∵

OC

=m

OA

+n

OB

，

AC

=t

CB

，
∴

OC

-

OA

=t（

OB

-

OC

），
∴（1+t）

OC

=

OA

+t

OB

，
∴（1+t）（m

OA

+n

OB

）=

OA

+t

OB

；
∴

m(1+t)=1 n(1+t)=t

，
解得m=

1

1+t

，n=

t

1+t

，
∴m+n=

1

1+t

+

t

1+t

=1；
（2）當(dāng)∠AOC=30°時(shí)，如圖1，
設(shè)AC=x，則OA=

3

x，
∴

3

x=1=m，
∴x=

3

3

；
∴n•

3

=

3

3

，
∴n=

1

3

；
∴

m

n

=

1

1 3

=3；
同理，當(dāng)

OA

、

OB

、

OC

的位置如圖2所示時(shí)，

m

n

=-3．
綜上，

m

n

的值為3或-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了平面向量的線性運(yùn)算與平面向量的基本定理的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題目．