Question

（Ⅰ）已知a和b是任意非零實數．證明：

|2a+b|+|2a-b|

|a|

≥4；
（Ⅱ）若不等式|2x+1|-|x+1|＞k（x-1）-

1

4

恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）利用雙絕對值不等式的性質|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|即可證得結論成立；
（Ⅱ）構造函數h（x）=|2x+1|-|x+1|=

-x，x≤-1 -3x-2，-1＜x＜- 1 2 x，x≥- 1 2

，作出y=h（x）與過定點（1，-

1

4

）的直線y=k（x-1）-

1

4

的圖象，數形結合即可求得實數k的取值范圍．

解答： 證明：（Ⅰ）|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|
∴

|2a+b|+|2a-b|

|a|

≥4．

（Ⅱ）記h（x）=|2x+1|-|x+1|=

-x，x≤-1 -3x-2，-1＜x＜- 1 2 x，x≥- 1 2

若不等式|2x+1|-|x+1|＞k（x-1）-

1

4

恒成立，
則函數h（x）的圖象在直線y=k（x-1）-

1

4

的上方，

∵y=k（x-1）-

1

4

經過定點（1，-

1

4

），當x=-

1

2

時，y=h（x）取得最小值-

1

2

，
顯然，當y=k（x-1）-

1

4

經過定點P（1，-

1

4

）與M（-

1

2

，-

1

2

）時，k_PM=

- 1 4 -(- 1 2 )

1-(- 1 2 )

=

1

6

，即k＞

1

6

；
當y=k（x-1）-

1

4

經過定點P（1，-

1

4

）與直線y=x平行時，k得到最大值1，
∴k∈(

1

6

，1]．

點評：本題考查函數恒成立問題，著重考查絕對值不等式的性質，突出構造函數思想與數形結合思想的應用，考查轉化思想與運算求解能力，屬于難題．