Question

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù).當(dāng)時，若區(qū)間上存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.（為自然對數(shù)底數(shù)）

Answer 1

【答案】(1) 極小值為;(2) 實數(shù)的取值范圍為.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)的切線的幾何意義，得到，即，解得.從而得到導(dǎo)函數(shù)，再研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到原函數(shù)的單調(diào)性從而得到極值；（2）構(gòu)造函數(shù)令 ，只需在區(qū)間上的最小值小于零，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題。對構(gòu)造的函數(shù)求導(dǎo)，研究單調(diào)性求最值即可。

（1），

因為曲線在點處的切線與直線的垂直，

所以，即，解得.

所以.

∴當(dāng)時， ， 在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時， ， 在上單調(diào)遞增；

∴當(dāng)時， 取得極小值，

∴極小值為.

（2）令 ，

則，欲使在區(qū)間上上存在，使得，

只需在區(qū)間上的最小值小于零.

令得， 或.

當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞減，則的最小值為，

∴，解得，

∵，∴；

當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞增，則的最小值為，

∴，解得，∴；

當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則的最小值為，

∵，∴.

∴，此時不成立.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為