Question

數(shù)學(xué)教師甲要求學(xué)生從星期一到星期四每天復(fù)習(xí)3個(gè)不同的常錯(cuò)題；每周五對(duì)一周所復(fù)習(xí)的常錯(cuò)題隨機(jī)抽取若干個(gè)進(jìn)行檢測(cè)（一周所復(fù)習(xí)的常錯(cuò)題每個(gè)被抽到的可能性相同）
（1）數(shù)學(xué)教師甲隨機(jī)抽了學(xué)生已經(jīng)復(fù)習(xí)的4個(gè)常錯(cuò)題進(jìn)行檢測(cè)，求至少有3個(gè)是后兩天復(fù)習(xí)過的常錯(cuò)題的概率；
（2）某學(xué)生對(duì)后兩天所復(fù)習(xí)過的常錯(cuò)題每個(gè)能做對(duì)的概率為

4

5

，對(duì)前兩天所學(xué)過的常錯(cuò)題每個(gè)能做對(duì)的概率為

3

5

，若老師從后三天所復(fù)習(xí)的常錯(cuò)題中各抽取一個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，若該學(xué)生能做對(duì)的常錯(cuò)題的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)數(shù)學(xué)教師甲抽到的4個(gè)常錯(cuò)題中，至少含有3個(gè)后兩復(fù)習(xí)過的事件為A，由此利用互斥事件概率加法公式能求出至少有3個(gè)是后兩天復(fù)習(xí)過的常錯(cuò)題的概率．
（2）由題意知X可能0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)學(xué)教師甲抽到的4個(gè)常錯(cuò)題中，
至少含有3個(gè)后兩復(fù)習(xí)過的事件為A，
則由題意知P（A）=

C 3 6 C 1 6 + C 4 6

C 4 12

=

3

11

．
（2）由題意知X可能0，1，2，3，
則有P（X=0）=（

1

5

）²×

2

5

=

2

125

，
P（X=1）=

C

1 2

×

4

5

×

1

5

×

2

5

+(

1

5

)2×

3

5

=

19

125

，
P（X=2）=(

4

5

)2×

2

5

+

C

1 2

×

4

5

×

1

5

×

3

5

=

56

125

，
P（X=3）=（

4

5

）²×

3

5

=

48

125

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	2 125	19 125	56 125	48 125

故EX=0×

2

125

+1×

19

125

+2×

56

125

+3×

48

125

=

11

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考可都是必考題型．