Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（

1

3

）=

3

5

．
（1）確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解不等式f（t-1）+f（2t）＜0．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,其他不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由題意得方程組，解出a，b的值，從而求出函數(shù)的表達式；
（2）證明：設?-1＜x₁＜x₂＜1，得出f（x₁）＜f（x₂），從而得出f（x）的單調(diào)性；
（3）由f（t-1）+f（2t）＜0，得出f（t-1）＜-f（2t）=f（-2t），結合函數(shù)的單調(diào)性得出-1＜t-1＜-2t＜1，解出即可．

解答： （1）解：由題意得：

f( 1 3 )= 3 5 f(0)=0

，解得：

a=2 b=0

；
∴f（x）=

2x

1+x2

；
（2）證明：設?-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

2(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，從而f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（-1，1）上遞增；
（3）解：∵f（t-1）+f（2t）＜0，
∴f（t-1）＜-f（2t）=f（-2t），
∵函數(shù)f（x）在（-1，1）上遞增，
∴-1＜t-1＜-2t＜1，解得：0＜t＜

1

3

，
∴原不等式的解集為：（0，

1

3

）．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，求函數(shù)的解析式問題，考查函數(shù)的奇偶性，是一道中檔題．