Question

給出下列四個命題：
①函數(shù)y=sin（2x-

π

3

）的圖象可以由y=sin2x的圖象向右平移

π

6

個單位長度得到；
②函數(shù)y=3•2^x的圖象可以由函數(shù)y=2^x的圖象向左或向右平移得到；
③設(shè)函數(shù)f（x）=lg|x|-sinx的零點個數(shù)為n，則n=6；
④已知函數(shù)f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=e^x-e（e是自然對數(shù)的底數(shù)），如果對于任意x∈R總有f（x）＜0或g（x）＞0且存在x∈（-∞，-6），使得f（x）g（x）＜0，則實數(shù)m的取值范圍是（-4，-3）．
則其中所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：必須對選項一一加以判斷：對①運用三角函數(shù)的圖象變換考慮；對②運用指數(shù)與對數(shù)的互化解決；對③運用兩個函數(shù)y=lg|x|和y=sinx的圖象交點解決；對④注意二次函數(shù)的圖象變化，首先確定m＜0，其次注意運用兩個定點（1，0），（-6，0）．

解答： 解：對①，因為函數(shù)y=sin（2x-

π

3

）即y=sin[2（x-

π

6

）]的圖象，所以可以由y=sin2x的圖象向右平移

π

6

個單位長度得到，這里向左（右）平移，都應(yīng)針對自變量x而言，非2x，故①對；
對②，因為函數(shù)y=3•2^x的圖象即y=2log23•2x=2x+log23，所以可以由函數(shù)y=2^x的圖象向左平移log₂3個單位得到，故②對；
對③，函數(shù)f（x）=lg|x|-sinx=0的根的個數(shù)即y=lg|x|和y=sinx的交點個數(shù)，由圖象可知有6個交點，故③對；
對④因為對任意任意x∈R總有f（x）＜0或g（x）＞0，所以m＜0，因為y=ex-e圖象過（1，0），當(dāng)y=f（x）圖象過（1，0）時，m=-4，因為存在x∈（-∞，-6），使得f（x）g（x）＜0，所以當(dāng)m=-3時，f（x）圖象過
（-6，0），通過圖象觀察-4＜m＜-3成立，故實數(shù)m的取值范圍是（-4，-3），即④對．
故答案為：①②③④

點評：本題主要考查函數(shù)的圖象變換和函數(shù)零點問題，以及二次函數(shù)的圖象問題，解決這類問題要注意運用數(shù)形結(jié)合思想方法，觀察圖象的變化得出結(jié)論．本題是一道中檔題．