Question

數(shù)列{a_n}中，a1=-

2

3

，其前n項(xiàng)和S_n滿足Sn=-

1

Sn-1+2

（n≥2），
（1）計(jì)算S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想S_n的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

（1）∵a1=-

2

3

，其前n項(xiàng)和S_n滿足Sn=-

1

Sn-1+2

（n≥2），
∴S2=-

1

S1+2

=-

3

4

，S3=-

1

S2+2

=-

4

5

，S4=-

1

S3+2

=-

5

6

；
（2）猜想S_n=-

n+1

n+2

．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①n=1時(shí)，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，成立，即可S_k=-

k+1

k+2

，
則n=k+1時(shí)，Sk+1=-

1

Sk+2

=-

1

- k+1 k+2 +2

=-

k+2

k+3

，
即n=k+1時(shí)，猜想成立，
①②可知S_n=-

n+1

n+2

．