Question

與圓C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線與x軸，y軸的正半軸交于A、B且|oA|＞2，|OB|＞2，則三角形AOB面積的最小值為

 

．

Answer 1

分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程后，找出圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)出A和B的坐標(biāo)，利用A和B的坐標(biāo)寫出直線AB的方程，因?yàn)橹本�AB與圓相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，并讓d等于半徑r，列出關(guān)于a和b的關(guān)系式，然后設(shè)a-2等于m大于0，b-2等于n大于0，利用三角形的面積公式表示出三角形AOB的面積，利用基本不等式求出面積的最小值即可．

解答：解：將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程得（x-1）²+（y-1）²=1，圓心C（1，1），半徑r=1
設(shè)A（a，0），B（0，b），則直線AB的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
圓心C（1，1）到直線AB的距離d=r=1即

|b+a-ab|

a2+b2

=1，兩邊平方得2ab-2ab（b+a）+a²b²=a²+b²，
∵ab≠0，∴2-2（b+a）+ab=0，∴（a-2）-b-2a+4=2，∴（a-2）（b-2）=2；
由|oA|＞2，|OB|＞2，可設(shè)a-2=m＞0，b-2=n＞0，且mn=2，
所以S_△AOB=

1

2

ab=

1

2

（m+2）（n+2）=

1

2

（mn+2m+2n+4）≥

1

2

（mn+2

4mn

+4）=3+2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)m=n即a=b時(shí)取等號(hào)．
所以三角形AOB面積的最小值為3+2

2

故答案為：3+2

2

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時(shí)所滿足的條件，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最值，是一道中檔題．