Question

已知函數(shù)f（x）=

1+a•2x

2x+1

是奇函數(shù)，
（1）求實(shí)數(shù)a的值
（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并用定義加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（0）=0，解出即可；（2）根據(jù)題目要求，利用定義證明即可．

解答： （1）解：∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，∴a=-1；
（2）：由（1）得：
f（x）=

1-2x

1+2x

=-1+

2

1+2x

，
證明：?x₁，x₂∈R，令x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，
∴f（x₁ ）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的證明問題，利用定義證明是基本的方法之一，本題是一道基礎(chǔ)題．