Question

【題目】如圖，三棱柱-的底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面，點(diǎn)分別是棱，上的點(diǎn)，且

（Ⅰ）證明：平面平面；

（II）若，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（Ⅱ） .

【解析】試題（1）取中點(diǎn)，連接，則，進(jìn)而證的平面，在取的中點(diǎn)，連接，則，從而證得平面，進(jìn)而證的結(jié)論；

（2）以為原點(diǎn)，分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得向量和平面的法向量，即可利用向量的運(yùn)算得到直線與平面所成角的正弦值。

試題解析：

（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)，連接，則，

因?yàn)?/span>底面，所以側(cè)面底面，

所以平面．

取中點(diǎn)，連接，則，且，

又因?yàn)?/span>，，所以且，

所以且，所以四邊形是平行四邊形，

所以，所以平面．又平面，

所以平面平面．

（Ⅱ）以為原點(diǎn)，分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>，依題意得，，，，所以，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由得 令，得，

設(shè)直線與平面所成的角為，則，

故直線與平面所成角的正弦值為．