Question

設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率e=2，右焦點(diǎn)F（c，0），方程ax²+bx-c=0的兩個(gè)根分別為x₁，x₂，則點(diǎn)P（x₁，x₂）在（　�。�

• A、圓x²+y²=10內(nèi)
• B、圓x²+y²=10上
• C、圓x²+y²=10外
• D、以上三種情況都有可能

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知圓的方程找出圓心坐標(biāo)與圓的半徑r，然后根據(jù)雙曲線的離心率公式找出c與a的關(guān)系，根據(jù)雙曲線的平方關(guān)系，把c與a的關(guān)系代入即可得到a等于b，然后根據(jù)韋達(dá)定理表示出兩根之和和兩根之積，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出點(diǎn)P與圓心的距離，把a(bǔ)，b及c的關(guān)系代入即可求出值，與圓的半徑比較大小即可判斷出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．

解答： 解：由圓的方程x²+y²=10得到圓心O坐標(biāo)為（0，0），圓的半徑r=

10

，
又雙曲線的離心率為e=

c

a

=2，即c=2a，
則c²=4a²=a²+b²，即3a²=b²，又a＞0，b＞0，得到b=

3

a，
因?yàn)榉匠蘟x²+bx-c=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x₁和x₂，所以x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=-

c

a

，
則|OP|=

x12+x22

=

7

＜r=

10

，
所以點(diǎn)P在圓x²+y²=10內(nèi)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．