Question

設(shè)函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x²，則不等式（x²-x）f（x）＞0的解集為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論

解答： 解：∵構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）=x（2f（x）+xf′（x）），
∵2f（x）+xf′（x）＞x²＞0，
令g'（x）=0，解得x=0，
當(dāng)x＜0，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞0，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有最小值，g（x）_min=g（0）=0，
∴g（x）＞0，
∴f（x）＞0，
∵（x²-x）f（x）＞0，
∴x²-x＞0，
解得x＜0，或x＞1，
故不等式（x²-x）f（x）＞0的解集為（-∞，0）∪（1，+∞），
故答案為：（-∞，0）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解不等式，構(gòu)造函數(shù)以及求證f（x）＞0恒成立是關(guān)鍵，屬于中檔題．