Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log₂

x+1

x-1

．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的增減性，并根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的定義域及其求法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對(duì)是數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到不等式，從而求出函數(shù)的定義域；
（2）先求出函數(shù)是奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．

解答： 解：（1）由題意得：

x+1

x-1

＞0，解得：x＞1′或x＜-1，
∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞1或x＜-1}；
（2）函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
由（1）得：函數(shù)f（x）的定義域是{x|x＞1或x＜-1}；
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
又∵f（-x）=

log	-x+1 -x-1 2

=-

log

x+1 x-1 2

=-f（x），
∴f（x）在定義域上是奇函數(shù)，
只需證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性即可，
設(shè)1＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）
=

log	x1+1 x1-1 2

-

log	x2+1 x2-1 2

=

log	(x1+1)(x2-1) (x1-1)(x2+1) 2

=

log	[1+ 2(x2-x1) (x1-1)(x2+1) ] 2

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴2（x₂-x₁）＞（x₁-1）（x₂-1），
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域問(wèn)題，考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．