Question

若函數(shù)對任意的，均有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).

（Ⅰ）判斷下面兩個函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說明理由.

①；    ②.

（Ⅱ）若函數(shù)具有性質(zhì)，且（），

求證：對任意有；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否對任意均有.若成立給出證明，若不成立給出反例.

Answer 1

（Ⅰ）證明：①函數(shù)具有性質(zhì).

，

即，

此函數(shù)為具有性質(zhì).

②函數(shù)不具有性質(zhì).              

例如，當時，，

，                           

所以，

此函數(shù)不具有性質(zhì).

（Ⅱ）假設(shè)為中第一個大于的值，   

則，

因為函數(shù)具有性質(zhì)，

所以，對于任意，均有，

所以，

所以，

與矛盾，

所以，對任意的有.                    

（Ⅲ）不成立.

例如

證明：當為有理數(shù)時，均為有理數(shù)，

，

當為無理數(shù)時，均為無理數(shù)，

所以，函數(shù)對任意的，均有，

即函數(shù)具有性質(zhì).                                      

而當（）且當為無理數(shù)時，.

所以，在（Ⅱ）的條件下，“對任意均有”不成立

（其他反例仿此給分，

如等.）