Question

設(shè)f（x）=x³+bx²+c，已知方程f（x）=0有三個(gè)實(shí)根α，2，β，且α＜2＜β
（1）求證：α，β為方程x²+（b+2）x+2b+4=0的兩根；
（2）求丨α-β丨的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）=（x-2）（x-α）（x-β）=x³-（α+β+2）x²+（2α+2β+αβ）x-2αβ=x³+bx²+c，由對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等可得α，β得和、積，于是得到結(jié)論；
（2）只需利用韋達(dá)定理求丨α-β丨的和得范圍，注意b得范圍；

解答： （1）證明：∵f（x）=x³+bx²+c，且f（x）=0有三個(gè)實(shí)根α，2，β，
∴f（x）=（x-2）（x-α）（x-β）=x³-（α+β+2）x²+（2α+2β+αβ）x-2αβ=x³+bx²+c，
∴

-(α+β+2)=b 2α+2β+αβ=0 -2αβ=c

，得

α+β=-b-2 αβ=2b+4

，
∴α，β是方程x²+（b+2）x+2b+4=0的兩根；
（2）解：由（1）得

α+β=-b-2 αβ=2b+4

，
∴（α-β）²=（α+β）²-4αβ=（-b-2）²-4（2b+4）=b²-4b-12=（b-2）²-16，
由α＜2＜β，得2²+2（b+2）+2b+4＜0，∴b＜-3．
∴（α-β）²＞（-3-2）²-16=9，
∴丨α-β丨＞3．

點(diǎn)評(píng)：該題考查方程得根與系數(shù)得關(guān)系、二次函數(shù)得性質(zhì)等知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力．