Question

某校高三年級(jí)有400人，在省標(biāo)準(zhǔn)化考試中，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為50的樣本，得到數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖（如圖）．
（1）求第四個(gè)小矩形的高；
（2）估計(jì)該校高三年級(jí)在這次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的學(xué)生大約有多少人？
（3）樣本中，已知成績(jī)?cè)赱140，150]內(nèi)的學(xué)生中有三名女生，現(xiàn)從成績(jī)?cè)赱140，150]內(nèi)的學(xué)生中選取3名學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)推廣交流，設(shè)有X名女生被選取，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，能求出第四個(gè)小矩形的高．
（2）由頻率分布直方圖得數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的頻率為0.7，由此可估計(jì)該校高三年級(jí)在這次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的學(xué)生人數(shù)．
（3）由頻率分布直方圖可知，樣本中成績(jī)?cè)赱140，150]內(nèi)的學(xué)生共有6人，由題設(shè)知這6人恰好是3男3女，從而X的所有可能取值為0、1、2、3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）由頻率分布直方圖可知，第四個(gè)小矩形的高為：
[1-（0.01+0.020+0.030+0.012）×10]÷10=0.028．（3分）
（2）∵樣本中，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的頻率為：
1-（0.01+0.020）×10=0.7，（4分）
∴通過(guò)樣本估計(jì)總體（即將頻率看作概率），
可估計(jì)該校高三年級(jí)在這次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)
在120分以上的學(xué)生大約有400×0.7=280（人）．（6分）
（3）由頻率分布直方圖可知，樣本中成績(jī)?cè)赱140，150]內(nèi)的學(xué)生共有0.012×10×50=6（人）．
于是，由題設(shè)知這6人恰好是3男3女．（7分）
∴X的所有可能取值為0、1、2、3，
P（X=0）=

C 3 3

C 3 6

=

1

20

，P（X=1）=

C 1 3 C 2 3

C 3 6

=

9

20

，
P（X=2）=

C 2 3 C 1 3

C 3 6

=

9

20

，P（X=3）=

C 3 3

C 3 6

=

1

20

．（10分）
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 20	9 20	9 20	1 20

∴X的數(shù)學(xué)期望為：EX=0×

1

20

+1×

9

20

+2×

9

20

+3×

1

20

=

3

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概念及相關(guān)計(jì)算，考查運(yùn)用概率知識(shí)與方法解決實(shí)際問題的能力．