Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)B（0，4），離心率e=0.6．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若O（0，0），P（2，2），試探究在橢圓C內(nèi)部是否存在整點(diǎn)Q（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)），使得△OPQ的面積S_△OPQ=4？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）；否則，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用短軸的一個(gè)端點(diǎn)B（0，4），離心率e=0.6，求出a，b，c，即可求橢圓C的方程；
（2）確定點(diǎn)Q在與直線OP平行且距離為2

2

的直線l上，可得l的方程，再分類討論，即可求出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），…（1分）
依題意得，b=4，

c

a

=

3

5

，又a²=b²+c²，…（3分）
∴a=5，b=4，c=3，…（4分）
所以橢圓C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．…（5分）
（2）依題意得，|OP|=2

2

，直線OP的方程為 y=x，…（6分）
因?yàn)镾_△OPQ=4，點(diǎn)Q到直線OP的距離為2

2

，…（7分）
所以點(diǎn)Q在與直線OP平行且距離為2

2

的直線l上，…（8分）
設(shè)l：y=x+m，則

|m|

2

=2

2

解得m=±4，…（10分）
當(dāng)m=4時(shí)，由

y=x+4 x2 25 + y2 16 ＜1

，消元得41x²+200x＜0，即-

200

41

＜x＜0，x∈Z，∴x=-4，-3，-2，-1，相應(yīng)的y也是整數(shù)，
此時(shí)滿足條件的點(diǎn)Q有4個(gè)，…（13分）
當(dāng)m=-4時(shí)，由對(duì)稱性，同理也得滿足條件的點(diǎn)Q有4個(gè)．
綜上，存在滿足條件的點(diǎn)Q，這樣的點(diǎn)有8個(gè)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．