Question

如圖，△ABC是圓O的內(nèi)接三角形，PA是圓O的切線，PB交AC于點(diǎn)E，交圓O于點(diǎn)D，已知PE=PA，∠ABC=60°，PD=1，BD=8．
（1）求證：∠AEP=60°；
（2）求BC．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段,弦切角

專題：立體幾何

分析：（1）先依據(jù)PA是圓O的切線利用切割線定理求得線段PA的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得PE，再利用等邊三角形中的邊的關(guān)系求得：∠AEP=60°．
（2）由（1）求出BE，利用相交弦定理求得線段CE的長(zhǎng)．再由∠BEC=60°，利用余弦定理能求出BC的值．

解答： （1）證明：∵PA是圓O的切線，PDB是圓O的割線，
∴PA²=PD•PB，又PD=1，BD=8，
∴PA=3，
又PE=PA，∴PE=3．
∵PA是圓O的切線，∴∠PAE=∠ABC=60°，
又PE=PA，∴△PAE是等邊三角形，
∴∠AEP=60°．
（2）解：∵PE=3．∴DE=PE-PD=2，∴BE=BD-DE=6．
由相交弦定理，得AE•CE=BE•DE，∴CE=4．
∵∠BEC=60°，
∴BC=

BE2+CE2-2BE•CE•cos60°

=

36+16-2×6×4× 1 2

=2

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的與圓有關(guān)的比例線段、切割線定理、相交弦定理、余弦定理的綜合運(yùn)用．