Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosα y=sinα

（α為參數(shù)）．以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-

π

4

）=2

2

（Ⅰ）求直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P為曲線C上的動點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，把直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（2cosα，sinα），求得點(diǎn)P到直線l距離d=

| 5 sin(α+β)-4|

2

，可得d的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-

π

4

）=2

2

，即 ρcosθ+ρsinθ=4，
化為直角坐標(biāo)方程為 x+y-4=0．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（2cosα，sinα），點(diǎn)P到直線l距離d=

|2cosα+sinα-4|

2

=

| 5 sin(α+β)-4|

2

，
其中，sinβ=

2

5

，cosβ=

1

5

．
故當(dāng)sin（α+β）=-1時，d取得最大值為

5 +4

2

=

10

2

+2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．