Question

【題目】平面凸六邊形的邊長相等,其中為矩形,．將,分別沿,折至,,且均在同側(cè)與平面垂直,連接,如圖所示,E,G分別是,的中點(diǎn)．

（1）求證：多面體為直三棱柱；

（2）求二面角平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

(1) 取中點(diǎn)F,連接,,再證明四邊形為平行四邊形,進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得平面平面,同時(shí)證得側(cè)棱且互相相等,再證明平面即可.

(2) 過F作交于點(diǎn)D,連接,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得為二面角的平面角以及二面角的平面角為,進(jìn)而根據(jù)三角形中的邊長關(guān)系結(jié)合勾股定理求解即可.

（1）證明：取中點(diǎn)F,連接,．

∵F為中點(diǎn),,又面平面,

且面平面,

∴平面．

同理可證平面,,而,故四邊形為平行四邊形,從而,,

又,,,故且,因此四邊形為平面四邊形,則,

而平面,平面,故平面；

由題設(shè)顯然有平面,而,故平面平面,

又四邊形,為平行四邊形,則,從而四邊形為平行四邊形,而平面,因此多面體為直三棱柱；

（2）過F作交于點(diǎn)D,連接．

由（1）平面知,而,,因此平面,則 ,

故為二面角的平面角,

而平面,平面,則平面平面,

因此二面角的平面角為,

設(shè),則,,,

從而,

故,

則