Question

7．若正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}，已知a₁=4且a₅²=16a₂•a₆，則$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}}$+$\frac{2}{\sqrt{{a}_{2}}}$+$\frac{3}{\sqrt{{a}_{3}}}$+…+$\frac{n}{\sqrt{{a}_{n}}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q＞0，由題意可得q=4，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，化簡$\frac{n}{\sqrt{{a}_{n}}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用錯(cuò)位相減法求和即可．

解答 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q＞0，
由a₁=4且a₅²=16a₂•a₆，
∴（4q⁴）²=16（4q）•（4q⁵），
解得q=4，q=-4（舍去），
∴a_n=4ⁿ，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=2ⁿ，
∴$\frac{n}{\sqrt{{a}_{n}}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}}$+$\frac{2}{\sqrt{{a}_{2}}}$+$\frac{3}{\sqrt{{a}_{3}}}$+…+$\frac{n}{\sqrt{{a}_{n}}}$=1•$\frac{1}{2}$+2•（$\frac{1}{2}$）²+3（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
設(shè)S_n=1•$\frac{1}{2}$+2•（$\frac{1}{2}$）²+3（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+3（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{\frac{1}{2}（1-（\frac{1}{2}）^{n}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=1-（1+$\frac{n}{2}$）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴S_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
故答案為：2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和，屬于中檔題．