Question

已知{a_n}為等比數(shù)列，a₁=1，a₄=64；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=

3n2+n

2

（1）求{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₁=1，a4=a1q3，得q=4．
∴a_n=4^n-1．
∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=

3n2+n

2

，
∴數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，a₁=2，
a₁+a₂=7，
∴公差d=3．
∴b_n=2+（n-1）×3=3n-1．
（2）由（1）可得：a_nb_n=（3n-1）•4^n-1．
∴T_n=2×1+5×4+8×4²+…+（3n-4）•4^n-2+（3n-1）•4^n-1，
4T_n=2×4+5×4²+…+（3n-4）•4^n-1+（3n-1）•4ⁿ，
∴-T_n=2+3×4+3×4²+…+3×4^n-1-（3n-1）×4ⁿ
=2+3×

4(4n-1-1)

4-1

-（3n-1）×4ⁿ=2+（2-3n）•4ⁿ，
∴3T_n=（3n-2）•4ⁿ+2．
②-①得：T_n=(n-

2

3

)•4n+

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．