Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）若存在，使得對恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.

【解析】

（1）先對函數(shù)求導，然后根據(jù)的正負以及定義域，分類討論在上的單調(diào)性；

（2）對分類：，，，考慮每種情況下所滿足的不等式，并通過統(tǒng)一變量構造新函數(shù)分析并求解出的最大值.

（1），

，

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，由，得.

①當時，

時，

函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當時，，

時，為減函數(shù)，

時，為增函數(shù)；

綜上可知，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增.

（2）當時，由，得對恒成立.

因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，不能使對恒成立；

當時，；

當時，由，

得，

設函數(shù)

則

令，可得，

時，為減函數(shù)，

時，為增函數(shù).

.

設

，解得

當時，為增函數(shù)，

當時，為減函數(shù).

的最大值為.