Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+ϕ） （ω＞0，|ϕ|＜

π

2

）有一個零點x₀=-

2

3

，且其圖象過點A（

7

3

，1），記函數(shù)f（x）的最小正周期為T，
（1）若f′（x₀）＜0，試求T的最大值及T取最大值時相應的函數(shù)解析式、
（2）若將所有滿足題條件的ω值按從小到大的順序排列，構成數(shù)列{ω_n}，試求數(shù)列{ω_n}的前項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與函數(shù)的綜合,正弦函數(shù)的圖象

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意和函數(shù)零點的定義得f（x）的圖象過點B（-

2

3

，0），由正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷出A（

7

3

，1）是其圖象的最高點，從而求出T的最大值，由周期公式求出ω，把點A代入解析式列出方程，結(jié)合φ的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出φ，代入解析式即可；
（2）把點A、B的坐標代入解析式列出方程，兩個方程相減求出ω的表達式，由等差數(shù)列的通項公式判斷，再由等差數(shù)列的前n項和公式求出數(shù)列{ω_n}的前項和S_n．

解答： 解：（1）由題意知，函數(shù)f（x）有一個零點x₀=-

2

3

，則其圖象過點B（-

2

3

，0），
因為f（x）=sin（ωx+ϕ）的最大值為1，且其圖象過點A（

7

3

，1），
所以A（

7

3

，1）是其圖象的最高點，
因為f′（x₀）＜0，所以x₀=-

2

3

在函數(shù)f（x）的一個單調(diào)減區(qū)間內(nèi)，
則函數(shù)周期T的最大值是

4

3

[

7

3

-(-

2

3

)]=4，
由T=

2π

ω

=4得，ω=

π

2

，
把點A（

7

3

，1）代入f（x）=sin（

π

2

x+ϕ）得，

7π

6

+φ=2kπ+

π

2

(k∈Z)，
所以φ=2kπ-

2π

3

(k∈Z)，
又|ϕ|＜

π

2

，則當k=1時，φ=

π

3

，
所以f（x）=sin（

π

2

x+

π

3

）；

（2）因為f（x）=sin（ωx+ϕ）的圖象過點A（

7

3

，1），
所以sin（

7ω

3

+φ）=1，則

7ω

3

+φ=2k1π+

π

2

（k₁∈Z），①，
因為函數(shù)f（x）=sin（ωx+ϕ）有一個零點x₀=-

2

3

，
所以sin（-

2ω

3

+φ）=0，則-

2ω

3

+φ=k₂π（k₂∈Z），②
由①-②得，3ω=(2k1-k2)π+

π

2

（k₁、k₂∈Z），
因為k₁、k₂∈Z，所以2k₁-k₂可取任意的整數(shù)，
所以3ω=kπ+

π

2

(k∈Z)，
又ω＞0，則k≥0，即ωn=

nπ

3

-

π

6

（n取正整數(shù)），
所以數(shù)列{ω_n}是以

π

3

為公差、

π

6

為首項的等差數(shù)列，
則她的前項和S_n=n×

π

6

+

n(n-1)

2

×

π

3

=

π

6

n2．

點評：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，考查推理論證能力、化簡計算能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于難題．