Question

{a_n}為公差不為0的等差數(shù)列，a₁=1且a₁、a₃、a₉成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求數(shù)列{

1

Sn

}的前n項和．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，由題意得（1+2d）²=1（1+8d），可求得d=1，故可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的前n項和為Sn=

(1+n)n

2

，故有

1

Sn

=

2

n(n+1)

，從而可求數(shù)列{

1

Sn

}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，由題意得（1+2d）²=1（1+8d），
得d=1或d=0（舍去），
所以{a_n}的通項公式為a_n=1+（n-1）d=n．
（Ⅱ）Sn=

(1+n)n

2

，

1

Sn

=

2

n(n+1)

，
∴數(shù)列{

1

Sn

}的前n項和T_n=

2

1×2

+

2

2×3

+

2

3×4

+…+

2

n(n+1)

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．

點評：本題主要考察等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．