【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

(1)求橢圓的方程；

(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在定點(diǎn)，使恒為定值？若存在，求出的坐標(biāo)，并求出這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)，使為定值.

【解析】試題分析：（1）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得，再求出的值，即可求橢圓的方程；（2）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論.

試題解析：(1)由題意，知拋物線的焦點(diǎn)為，所以，因?yàn)闄E圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與構(gòu)成正三角形，所以，可求得，故橢圓的方程為.

(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)設(shè)其斜率為k，則的方程為，由，得，設(shè)，，易得：，，則，，所以 要使為定值，令，即，此時(shí).

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨取，由，可得，，所以，綜上，存在點(diǎn)，使為定值.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓E:的焦點(diǎn)在軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k （k > 0）的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA.

（Ⅰ）當(dāng)t=4，時(shí)，求△AMN的面積；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

若恒成立，求的取值范圍；

已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)和，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則取到最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了紀(jì)念五四運(yùn)動(dòng)100周年和建團(tuán)97周年,某校團(tuán)委開展“青春心向黨,建功新時(shí)代”知識(shí)問答競(jìng)賽.在小組賽中,甲乙丙3人進(jìn)行擂臺(tái)賽,每局2人進(jìn)行比賽,另1人當(dāng)裁判,每一局的輸方擔(dān)任下局的裁判,由原來(lái)裁判向勝者挑戰(zhàn),甲乙丙3人實(shí)力相當(dāng).

(1)若第1局是由甲擔(dān)任裁判,求第4局仍是甲擔(dān)任裁判的概率;

(2)甲乙丙3人進(jìn)行的擂臺(tái)賽結(jié)束后,經(jīng)統(tǒng)計(jì),甲共參賽了6局,乙共參賽了5局而丙共擔(dān)任了2局裁判.則甲乙丙3人進(jìn)行的擂臺(tái)賽共進(jìn)行了多少局?若從小組賽中,甲乙丙比賽的所有場(chǎng)次中任取2場(chǎng),則均是由甲擔(dān)任裁判的概率是多少.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖是我國(guó)2010年至2016年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖．

注：年份代碼1～7分別對(duì)應(yīng)年份2010～2016.

（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；

（Ⅱ）建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)2018年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量．

參考數(shù)據(jù)：，，，.

參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查.已知該校共有學(xué)生960人，其中男生560人，從全校學(xué)生中抽取了容量為的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)的時(shí)間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)好下表：

超過1小時(shí)

不超過1小時(shí)

男

20

8

女

12

m

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）能否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間是否超過1小時(shí)與性別有關(guān)？

（Ⅲ）以樣本中學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過1小時(shí)的頻率作為該事件發(fā)生的概率，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查6名學(xué)生，試估計(jì)6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過1小時(shí)的人數(shù).

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，，其中.

（1）若，，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）討論的單調(diào)區(qū)間.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某地舉辦科技博覽會(huì)，有個(gè)場(chǎng)館，現(xiàn)將個(gè)志愿者名額分配給這個(gè)場(chǎng)館，要求每個(gè)場(chǎng)館至少有一個(gè)名額且各場(chǎng)館名額互不相同的分配方法共有（ ）種

A. B. C. D.

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