Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，其中.

（1）若，，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）討論的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

【答案】（1）；（2）a＞0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，），（，+∞），減區(qū)間為（，）；a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞），無減區(qū)間.

【解析】

（1）當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，可得f（x），f′（x），而切線斜率k＝f′（1），易求f（1），從而可得切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式可得切線方程；

（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a≤0時(shí)f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；

（1）當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，f（x）＝x3﹣x-2，f′（x）＝3x2﹣1，

則切線斜率k＝f′（1）＝2，

f（1）＝1﹣1-2＝-2，則切點(diǎn)為（1，-2），

∴函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y+2＝2（x﹣1），即y＝2x-4；

（2）若f（x）＝x3﹣ax﹣b，則f′（x）＝3x2﹣a，

分兩種情況討論：

①當(dāng)a≤0時(shí)，有f′（x）＝3x2﹣a≥0恒成立，

此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞），無減區(qū)間.

②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＝3x2﹣a＝0，解得x或x，

當(dāng)x或x時(shí)，f′（x）＝3x2﹣a＞0，f（x）為增函數(shù)，

當(dāng)x時(shí)，f′（x）＝3x2﹣a＜0，f（x）為減函數(shù)，

故f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，），（，+∞），減區(qū)間為（，）；