Question

某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱系統(tǒng)）甲和乙，系統(tǒng)甲和系統(tǒng)乙在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為

1

5

和P，若在任意時(shí)刻至多有一個(gè)系統(tǒng)發(fā)生故障的概率為

49

50

．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）設(shè)系統(tǒng)乙在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）和方差D（ξ）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）記“系統(tǒng)甲發(fā)生故障、系統(tǒng)乙發(fā)生故障”分別為事件A、B，“任意時(shí)刻至多有一個(gè)系統(tǒng)發(fā)生故障”為事件C．則P（C）=1-P（AB）=1-P（A）P（B），由此能求出P的值．
（Ⅱ）依題意ξ～B（3，

9

10

），由此能求出E（ξ）和D（ξ）．

解答： 解：（Ⅰ）記“系統(tǒng)甲發(fā)生故障、系統(tǒng)乙發(fā)生故障”分別為事件A、B，
“任意時(shí)刻至多有一個(gè)系統(tǒng)發(fā)生故障”為事件C．
則P（C）=1-P（AB）=1-P（A）P（B）=1-

1

5

•P=

49

50

，
∴P=

1

10

（Ⅱ）依題意ξ～B（3，

9

10

），
∴E（ξ）=3×

9

10

=

27

10

，
D（ξ）=3×

9

10

×

1

10

=

27

100

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．