Question

過點M（1，2）的直線l
（1）當l在兩個坐標軸上截距的絕對值相等時，求直線l的方程；
（2）l與坐標軸的正半軸的交點分別為A、B，求△AOB面積的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：（1）分類討論：當直線過原點時易得直線方程為2x-y=0；當直線不過原點時，設直線的方程為

x

a

+

y

a

=1或

x

a

+

y

-a

=1，分別代入點可得a值，可得方程；（2）由題意設直線的截距式方程為

x

a

+

y

b

=1，（a＞0，b＞0），可得

1

a

+

2

b

=1，由基本不等式可得ab≥8，可得面積的最小值和此時直線的方程．

解答： 解：（1）當直線過原點時，直線的斜率為

2-0

1-0

=2，
∴直線的方程為y=2x，即2x-y=0；
當直線不過原點時，設直線的方程為

x

a

+

y

a

=1或

x

a

+

y

-a

=1，
分別代入點M（1，2）可得a=3或a=-1，
∴所求直線的方程為

x

3

+

y

3

=1或

x

-1

+

y

1

=1
化為一般式可得x+y-3=0或x-y+1=0，
綜上可得直線l的方程為：2x-y=0或x+y-3=0或x-y+1=0
（2）由題意設直線的截距式方程為

x

a

+

y

b

=1，（a＞0，b＞0），
∴由直線l過點M可得

1

a

+

2

b

=1，
∴1=

1

a

+

2

b

≥2

1 a • 2 b

=

2 2

ab

，
∴

ab

≥2

2

，ab≥8
∴△AOB面積S=

1

2

ab≥

1

2

×4=2，
當且僅當

1

a

=

2

b

即a=2且b=4時取等號
∴△AOB面積的最小值4，
此時直線l方程為

x

2

+

y

4

=1，化為一般式可得：2x+y-4=0

點評：本題考查直線的截距式方程，涉及基本不等式和三角形的面積，屬中檔題．