Question

如圖，將長為4，寬為1的長方形折疊成長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的四個側(cè)面，記底面上一邊AB=t（0＜t＜2），連接A₁B，A₁C，A₁D₁
（1）當(dāng)長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積最大時，求二面角B-A₁C-D的值；
（2）線段A₁C上是否存在一點(diǎn)P，使得A₁C⊥平面BPD，若有，求出P點(diǎn)的位置，沒有請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先根據(jù)最大值確定正方體，進(jìn)一步根據(jù)法向量，及向量的數(shù)量積求出二面角．
（2）與（1）一樣建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積，向量共享的充要條件，進(jìn)一步利用線面垂直的性質(zhì)，求出分點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求出點(diǎn)P的位置．

解答： 解：將長為4，寬為1的長方形折疊成長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的四個側(cè)面，記底面上一邊AB=t（0＜t＜2），
則求得：AD=2-t
則：V=t（2-t）=-（t-1）²+1
當(dāng)t=1時，V_max=1
即：長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積最大時，長方體恰好是正方體．
所以：建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．正方體的棱長為1．
由于AB₁⊥A₁B，BC⊥AB₁
所以：AB₁⊥平面BA₁C
所以：

AB1

可以看做是平面BA₁C的法向量．
所以：

AB1

=(1，0，1)
同理：利用線面垂直得到

AD1

可以看做是平面DA1C
所以：

AD1

=(0，1，1)
進(jìn)一步求得：cos＜

AB1

AD1

＞=

AB1 • AD1

| AB1 || AD1 |

=

1

2

，
所以根據(jù)圖形知：二面角B-A₁C-D的值為

2π

3

．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則：C（t，2-t，0），A₁（0，0，1），B（t，0，0），
D（0，2-t，0）
所以：

A1C

=(t，2-t，-1)，

BD

=(-t，2-t，0)
假設(shè)在線段A₁C上存在一點(diǎn)P，使得A₁C⊥平面BPD，則設(shè)

A1P

=λ

PC

（λ＞0）
根據(jù)分點(diǎn)坐標(biāo)公式：P（

λt

1+λ

，

λ(2-t)

1+λ

，

1

1+λ

)
求得：

BP

=(

λt

1+λ

-t，

λ(2-t)

1+λ

，

1

1+λ

)，
由于

BP

⊥

A1C

所以：-t²+λ（2-t）²-1=0①
同理利用：

BD

⊥

A1C

解得：-t²+（2-t）²=0②
所以：

-t2+λ(2-t)2-1=0 -t2+(2-t)2=0

解得：λ=1±

3

（負(fù)值舍去）
所以點(diǎn)P在

A1P

=(1+

3

)

PC

的位置．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系，法向量，向量的數(shù)量積，分點(diǎn)坐標(biāo)公式，向量的共線問題，屬于中等題型．