Question

已知x，y滿足約束條件

x-y-1≤0 2x-y-3≥0

，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）在約束條件下取到最小值2

5

時(shí)，a²+b²的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義確定取得最小值的條件，利用點(diǎn)到直線的距離即可得到結(jié)論．．

解答： 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
∵a＞0，b＞0，
∴直線的斜率-

a

b

＜0，
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線得y=-

a

b

x+

z

b

，由圖象可知當(dāng)直線y=-

a

b

x+

z

b

經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=-

a

b

x+

z

b

的截距最小，此時(shí)z最小．
由

x-y-1=0 2x-y-3=0

，解得

x=2 y=1

，即A（2，1），
此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值為2

5

，
即2a+b=2

5

，
在點(diǎn)P（a，b）在直線2x+y=2

5

，
則原點(diǎn)到直線的距離d=

|2 5 |

12+22

=

2 5

5

=2，
即a²+b²的最小值d²=4，
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合求出目標(biāo)函數(shù)取得最大值的條件是解決本題的關(guān)鍵．