Question

【題目】對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿足，則稱為“類函數(shù)”.

（1）已知函數(shù)，試判斷是否為“類函數(shù)”？并說明理由；

（2）設(shè)是定義在上的“類函數(shù)”，求是實(shí)數(shù)的最小值；

（3）若 為其定義域上的“類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)是“類函數(shù)”；（2）；（3）.

【解析】試題分析：(1) 由，得整理可得滿足

(2) 由題存在實(shí)數(shù)滿足，即方程在上有解.令分離參數(shù)可得，設(shè)求值域，可得

取最小值

(3) 由題即存在實(shí)數(shù)，滿足，分， ， 三種情況討論可得實(shí)數(shù)m的取值范圍.

試題解析：（1）由，得：

所以

所以存在滿足

所以函數(shù)是“類函數(shù)”，

（2）因?yàn)?/span>是定義在上的“類函數(shù)”，

所以存在實(shí)數(shù)滿足，

即方程在上有解.

令

則，因?yàn)?/span>在上遞增，在上遞減

所以當(dāng)或時(shí)， 取最小值

（3）由對(duì)恒成立，得

因?yàn)槿?/span> 為其定義域上的“類函數(shù)”

所以存在實(shí)數(shù)，滿足

①當(dāng)時(shí)， ，所以，所以

因?yàn)楹瘮?shù)（）是增函數(shù)，所以

②當(dāng)時(shí)， ，所以，矛盾

③當(dāng)時(shí)， ，所以，所以

因?yàn)楹瘮?shù) 是減函數(shù)，所以

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是

點(diǎn)睛:已知方程有根問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)問題，求參數(shù)常用的方法和思路有：

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的值域問題解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解.