Question

設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）={

|lgx|，x＞0 -x2-2x，x≤0

，若關(guān)于x的函數(shù)y=2f²（x）+mf（x）+1有8個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,分段函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先將函數(shù)進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問(wèn)題．結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，從而確定b的取值范圍．

解答： 解：令t=f（x），則原函數(shù)等價(jià)為y=2t²+mt+1．做出函數(shù)f（x）的圖象如圖，
圖象可知當(dāng)由0＜t＜1時(shí)，函數(shù)t=f（x）有四個(gè)交點(diǎn)．
要使關(guān)于x的函數(shù)y=2f²（x）+mf（x）+1有8個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)y=2t²+mt+1有兩個(gè)根t₁，t₂，
且0＜t₁＜1，0＜t₂＜1．
令g（t）=2t²+mt+1，則由根的分布可得

m2-8＞0 g(0)＞0 g(1)=m+3＞0 0＜- m 4 ＜1

，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是-3＜m＜-2

2

．
故答案為：-3＜m＜-2

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，以及二次函數(shù)根的分布，換元是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．