Question

【題目】已知橢圓 的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F重合，且橢圓的離心率是 ，如圖所示．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）拋物線的準(zhǔn)線與橢圓在第二象限相交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作拋物線的切線l，l與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意，得F（1，0），∴c=1，

又e= ，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=3，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）解：拋物線的準(zhǔn)線方程為x=﹣1

由 ，解得 ， ，

由A位于第二象限，則A（﹣1， ），

過(guò)點(diǎn)A作拋物線的切線l的方程為：

即直線l：4x﹣3y﹣4=0

由 整理得

整理得：ky2﹣4y+4k+6=0，

當(dāng)k=0，解得：y= ，不符合題意，

當(dāng)k≠0，由直線與拋物線相切，則△=0，

∴（﹣4）2﹣4k（4k+6）=0，解得：k= 或k=﹣2，

當(dāng)k= 時(shí)，直線l的方程y﹣ = （x+1），

則 ，整理得：（x+1）2=0，

直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，

當(dāng)k=﹣2時(shí)，直線l的方程為y﹣ =﹣2（x+1），

由 ，整理得：19x2+8x﹣11=0，解得：x1=﹣1，x2= ，

則y1= ，y2=﹣ ，

由以上可知點(diǎn)A（﹣1， ），B（ ，﹣ ），

∴丨AB丨= = ，

綜上可知：線段AB長(zhǎng)度為

【解析】（1）根據(jù)題意得F（1，0），即c=1，再通過(guò)e= 及c2=a2﹣b2計(jì)算可得橢圓的方程；（2）將準(zhǔn)線方程代入橢圓方程，求得A點(diǎn)坐標(biāo)，求得拋物線的切線方程，由△=0，求得k的值，分別代入橢圓方程，求得B點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求得線段AB的長(zhǎng)．