【題目】如圖1，梯形中，，過分別作，，垂足分別為、.，，已知，將梯形沿，同側折起，得空間幾何體，如圖2.

（1）若，證明：平面；

（2）在（1）的條件下，若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先證平面，得到，結合，可證得平面；

（2）以，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，求出面ADF與面ACF的法向量，利用夾角公式，求出兩法向量夾角的余弦值，由圖可知二面角為銳角，則它的余弦值為正值，即可得到本題答案.

（1）由已知得四邊形是正方形，且邊長為2，

在圖2中，，由已知得，，∴平面，

又平面，∴，又，，∴平面.

（2）在圖2中，由（1）知，，兩兩垂直，

以為坐標原點，以，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，

則，，，，

，，.設平面的一個法向量為，

由得，不妨取，得，

設平面的一個法向量為，

由得，取，得，

.

由圖可得，二面角為銳角，所以它的余弦值為

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，，求的值域；

（2）當時，求的最小值；

（3）是否存在實數(shù)、，同時滿足下列條件：① ；② 當的定義域為時，其值域為．若存在，求出、的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面 平面，四邊形為正方形，△為等邊三角形，是中點，平面與棱交于點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（III）記四棱錐的體積為，四棱錐的體積為，直接寫出的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

（2）對于任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著科學技術的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡也已經(jīng)逐漸融入了人們的日常生活，網(wǎng)購作為一種新的消費方式，因其具有快捷、商品種類齊全、性價比高等優(yōu)勢而深受廣大消費者認可.某網(wǎng)購公司統(tǒng)計了近五年在本公司網(wǎng)購的人數(shù)，得到如下的相關數(shù)據(jù)(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次類推；y表示人數(shù))：

x

1

2

3

4

5

y(萬人)

20

50

100

150

180

（1）試根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程，并預測到哪一年該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬人；

（2）該公司為了吸引網(wǎng)購者，特別推出“玩網(wǎng)絡游戲，送免費購物券”活動，網(wǎng)購者可根據(jù)拋擲骰子的結果，操控微型遙控車在方格圖上行進. 若遙控車最終停在“勝利大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費購物券500元；若遙控車最終停在“失敗大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費購物券200元. 已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，網(wǎng)購者每拋擲一次骰子，遙控車向前移動一次.若擲出奇數(shù)，遙控車向前移動一格（從到）若擲出偶數(shù)遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時，游戲結束。設遙控車移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求網(wǎng)購者參與游戲一次獲得免費購物券金額的期望值.

附：在線性回歸方程中，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地政府為改善居民的住房條件，集中建設一批經(jīng)適樓房．用了1400萬元購買了一塊空地，規(guī)劃建設8幢樓，要求每幢樓的面積和層數(shù)等都一致，已知該經(jīng)適房每幢樓每層建筑面積均為250平方米，第一層建筑費用是每平方米3000元，從第二層開始，每一層的建筑費用比其下面一層每平方米增加80元．

（1）若該經(jīng)適樓房每幢樓共層，總開發(fā)費用為萬元，求函數(shù)的表達式（總開發(fā)費用=總建筑費用+購地費用）；

（2）要使該批經(jīng)適房的每平方米的平均開發(fā)費用最低，每幢樓應建多少層？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著通識教育理念的推廣及高校課程改革的深入，選修課越來越受到人們的重視.國內(nèi)一些知名院校在公共選修課的設置方面做了許多有益的探索，并且取得了一定的成果.因為選修課的課程建設處于探索階段，選修課的教學、管理還存在很多的問題，所以需要在通識教育的基礎上制定科學的、可行的解決方案，為學校選修課程的改革與創(chuàng)新、課程設置、考試考核、人才培養(yǎng)提供參考.某高校采用分層抽樣法抽取了數(shù)學專業(yè)的50名參加選修課與不參加選修課的學生的成績，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

成績優(yōu)秀

成績不夠優(yōu)秀

總計

參加選修課

16

9

25

不參加選修課

8

17

25

總計

24

26

50

（1）試運用獨立性檢驗的思想方法你能否有99%的把握認為“學生的成績優(yōu)秀與是否參加選修課有關”，并說明理由；

（2）如果從數(shù)學專業(yè)隨機抽取5名學生，求抽到參加選修課的學生人數(shù)的分布列和數(shù)學期望（將頻率當做概率計算）.

參考公式：，其中.

臨界值表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于函數(shù)，下列個結論正確的是__________（把你認為正確的答案全部寫上）．

（1）任取，都有；

（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（3），對一切恒成立；

（4）函數(shù)有個零點；

（5）若關于的方程有且只有兩個不同的實根，，則.

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