Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應(yīng)值如下表，f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示．下列關(guān)于f（x）的命題：

x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

①函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)為0，4；
②函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)；
③如果當(dāng)x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；
④當(dāng)1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a有4個零點(diǎn)．
其中正確命題的個數(shù)有

 

 個．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題考查利導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和極值的問題，先利用導(dǎo)函數(shù)圖象求函數(shù)極值和單調(diào)性，然后判斷正誤．

解答： 解：①導(dǎo)函數(shù)圖象在x=0和4處導(dǎo)數(shù)為0，且導(dǎo)數(shù)符號由正到負(fù)，函數(shù)f（x）先增后減，函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)為0，4，正確；
②導(dǎo)函數(shù)圖象在x∈[0，4]處恒在x軸下側(cè)，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，正確；
③如果當(dāng)x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為5，而不是4，錯誤；
④由導(dǎo)函數(shù)圖象得，函數(shù)在x=0，2，4處取得極值2，f（2），2，而當(dāng)x取端點(diǎn)值f（-1）=f（5）=1，
則當(dāng)f（2）＜1時，函數(shù)的值域為[f（2），2]，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a有4個零點(diǎn)；
則當(dāng)f（2）≥1時，函數(shù)的值域為[1，2]，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a有2個零點(diǎn)；
綜上當(dāng)1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a有2或4個零點(diǎn)，④錯誤．
故答案為：2．

點(diǎn)評：難點(diǎn)是④y=f（x）-a中零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程f（x）=a的解的個數(shù)，可數(shù)形結(jié)合，畫圖求解．