Question

在三棱錐S-ABC中，已知SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC≤8．則三棱錐S-ABC體積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：余弦定理,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：利用條件、余弦定理可得cos∠SAB=

SA2+AB2-SB2

2SA•AB

≤-

1

5

，可得sin∠SAB≤

2 6

5

，可得S_△SAB 的最大值．點C到面SAB的距離為h，由h≤CB≤6，由此求得三棱錐S-ABC體積V=

1

3

•S_△SAB•h 的最大值．

解答： 解：∵在三棱錐S-ABC中，SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC≤8，
∴S_△SAB=

1

2

SA•SB•sin∠SAB，又cos∠SAB=

SA2+AB2-SB2

2SA•AB

≤-

1

5

，∴sin∠SAB≤

2 6

5

，
∴S_△SAB=

1

2

×4×5×sin∠SAB≤4

6

．
設點C到面SAB的距離為h，則h≤CB≤6，
根據(jù)三棱錐S-ABC體積V=

1

3

•S_△SAB•h≤

1

3

×4

6

×6=8

6

，
故答案為：8

6

．

點評：本題主要考查余弦定理、三棱錐的體積，屬于基礎題．