Question

如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ACDE所在平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點(diǎn)為M，AC⊥BC，且AC=BC，
（1）求證：AM⊥平面EBC；
（2）求直線EC與平面ABE所成線面角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得AM⊥EC，AC⊥BC，從而AM⊥BC，由此能證明AM⊥平面EBC．
（2）以CA為x軸，CB為y軸，CD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線EC與平面ABE所成線面角的正切值．

解答： （1）證明：∵ACDE是正方形，∴AM⊥EC，
∵正方形ACDE所在平面與平面ABC垂直，AC⊥BC，
∴BC⊥平面ACDE，
∵AM?平面ACDE，∴AM⊥BC，
∵EC∩BC=C，∴AM⊥平面EBC．
（2）解：由題意，以CA為x軸，CB為y軸，CD為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵邊長(zhǎng)為2的正方形ACDE所在平面與平面ABC垂直，
AD與CE的交點(diǎn)為M，AC⊥BC，且AC=BC，
∴A（2，0，0），B（0，2，0），
E（2，0，2），C（0，0，0），

AB

=（-2，2，0），

AE

=（0，0，2），
設(shè)平面ABE的法向量

n

=（x，y，z），

n • AB =-2x+2y=0 n • AE =2z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，0），

CE

=（2，0，2），
設(shè)直線EC與平面ABE所成線面角為θ，
sinθ=|cos＜

EC

，

n

＞|=|

2

2 × 8

|=

1

2

，
∴θ=30°，∴tanθ=

3

3

．
∴直線EC與平面ABE所成線面角的正切值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．