Question

已知f（x）=+a，g（x）=x-1-lnx，若存在α，β（a＞1），使得|f（α）-g（β）|≤3，則a的取值范圍是________．

Answer 1

（1，e]
分析：定義在上的函數(shù)f（x）和g（x）的值域，得到：f（x）的最小值為1+a，g（x）的最大值為：a-1-lna，結(jié)合條件：存在α，β（a＞1），使得|f（α）-g（β）|≤3，得到f（x）的最小值與g（x）的最大值差的絕對值小于等于3，得出一個關(guān)于a的不等關(guān)系，解之即得a的取值范圍．
解答：解：∵定義在上的函數(shù)f（x）和g（x）的值域依次是[1+a，]和[0，a-1-lna]，
∴f（x）的最小值為1+a，g（x）的最大值為：a-1-lna，
∵若存在α，β（a＞1），使得|f（α）-g（β）|≤3，則
∴1+a-（-1-lna）≤3，又a＞1
解之得：1＜a≤e，
故答案為：（1，e]．
點評：本小題主要考查函數(shù)的值域、函數(shù)的最值的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．