Question

銳角△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，cosA=

5

5

，sinB=

3 10

10

．（Ⅰ）求cos（A+B）的值；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由cosA與sinB的值，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sinA與cosB的值，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡cos（A+B），將各自的值代入計算即可求出值；
（Ⅱ）由cos（A+B）的值求出cosC的值，進(jìn)而求出sinC的值，由a，sinA的值，利用正弦定理求出c的值，再利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（Ⅰ）∵銳角△ABC中，cosA=

5

5

，sinB=

3 10

10

，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 5

5

，cosB=

1-sin2B

=

10

10

，
則cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=

5

5

×

10

10

-

2 5

5

×

3 10

10

=-

2

2

；
（Ⅱ）∵cosC=-cos（A+B）=

2

2

，
∴sinC=

1-cos2C

=

2

2

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：c=

asinC

sinA

=

4× 2 2

2 5 5

=

10

，
則S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×4×

10

×

3 10

10

=6．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．