Question

設(shè)α，β是銳角，且cosα=

1

7

，sin（α+β）=

5 3

14

，則β=（　�。�

• A、

  π

  6

• B、

  π

  3

• C、

  π

  4

• D、

  5π

  12

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：先判斷0＜α+β＜π，求得 sinα=

5 3

14

，cos（α+β）=±

11

14

．當(dāng)cos（α+β）=

11

14

時(shí)，求得sinβ=sin[（α+β）-α]＜0，矛盾，可得cos（α+β）=-

11

14

．
再由cosβ=cos[（α+β）-α]=

1

2

，結(jié)合0＜β＜

π

2

，求得β 的值．

解答： 解：∵α，β為銳角，∴0＜α+β＜π． 
∵cosα=

1

7

，sin（α+β）=

5 3

14

，
∴sinα=

4 3

7

，cos（α+β）=±

11

14

． 
當(dāng)cos（α+β）=

11

14

時(shí)，sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=

5 3

14

×

1

7

-

11

14

×

4 3

7

＜0，矛盾，
∴cos（α+β）=-

11

14

．
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-

11

14

×

1

7

+

5 3

14

×

4 3

7

=

1

2

，
又0＜β＜

π

2

，
∴β=

π

3

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的正弦、余弦公式的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．