Question

探究函數(shù)f（x）=x+

4

x

，x∈（0，+∞）的性質(zhì)，列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

（1）根據(jù)以上列表畫出f（x）的圖象，寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間及f（x）的最值；
（2）證明：函數(shù)f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區(qū)間（0，2）上遞減．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)表中y值隨x值描點(diǎn)畫圖，可得圖象；根據(jù)此函數(shù)的大概圖象寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間及f（x）的最值；
（2）利用函數(shù)在（0，2）上的導(dǎo)數(shù)符號(hào)從而確定函數(shù)在區(qū)間上（0，2）的單調(diào)性．

解答： 解：（1）根據(jù)表中x及對(duì)應(yīng)的y的值分別為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)描點(diǎn)畫圖，圖象如下圖



y值隨x值變化的特點(diǎn)可知f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x=2時(shí)y_最小=4；
（2）由f（x）=x+

4

x

，∴f′（x）=1-

4

x2

=

(x+2)(x-2)

x2

，
∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，
∴此函數(shù)在區(qū)間上（0，2）是遞減的．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性是常用的方法，同時(shí)考查了作圖能力，屬于中檔題．