如圖,直線AB為圓的切線,切點為B,點C在圓上,∠ABC的角平分線BE交圓于E,DB垂直BE交圓于點D.
(1)證明:DB=DC;
(2)設(shè)圓的半徑為1,BC=
3
,延長CE交AB于點F,證明DC∥AB.
考點:圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定
專題:選作題,立體幾何
分析:(1)連接DE.由于DB垂直BE交圓于點D,可得∠DBE=90°.即DE為圓的直徑.由于∠ABC的角平分線BE交圓于點E,利用同圓中的弧圓周角弦之間的關(guān)系可得∠DCB=∠DBC,DB=DC.
(II)證明CF⊥AB,DC⊥CF,即可證明DC∥AB.
解答: (1)證明:如圖所示,連接DE.
∵DB垂直BE交圓于點D,∴∠DBE=90°.
∴DE為圓的直徑.
∵∠ABC的角平分線BE交圓于點E,
BE
=
CE
,
DB
=
DC
,
∴∠DCB=∠DBC,
∴DB=DC.
(2)解:由(1)可知:∠CDE=∠BDE,DE⊥BC,且平分BC,設(shè)中點為M,外接圓的圓心為點O.
連接OB,OC,則OB⊥AB.
在Rt△BOM中,OB=1,BM=
1
2
BC=
3
2

∴∠BOM=60°
∴∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
∴CF⊥AB
∵∠DCE=90°,
∴DC⊥CF,
∴DC∥AB.
點評:本題綜合考查了圓的切線的性質(zhì)、同圓中的弧圓周角弦之間的關(guān)系、垂徑定理及其推論、直角三角形外接圓的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,考查了推理能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.
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A、
5
12
B、
1
2
C、
2
3
D、
5
6

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